関数曲線\(y=f(x)\)をx軸方向にp、y軸方向にqだけ平行移動したグラフの方程式は\(y=f(x-p)+q\)で与えられる。

【問1の解答】
求める方程式は、\(y=(x-2)^2-2=x^2-4x+2\) である。

頂点が\((p,q)\)となる放物線の方程式は\(y=(x-p)^2+q\)である。
★まず、下のグラフを読込み、①の頂点を求め、その点をプロットせよ。
★次に、求めたa,bによる②のグラフを追加して、正しく接していることを確かめよ。

【問2の解答】
①の方程式は\(y=(x-4)^2-16\)となるから、①の頂点は\((4,-16)\)である。
②の方程式は\(y=-\frac{1}{2}(x-a)^2+\frac{1}{2}a^2-3b\)となるから、 連立方程式\(a=4, \frac{1}{2}a^2-3b=-16\)を解いて、 a=4,b=8が求まる。

頂点が\((p,q)\)となる放物線の方程式は\(y=(x-p)^2+q\)である。

【問3の解答】
与えられた頂点より、放物線は\(y=a(x-1)^2+2\)とおけるので、通過点条件を解いて、求める方程式は、\(y=x^2-2x+3\) である。

２次関数\(y=ax^2+bx+c\)のグラフは\(a>0\)のとき下に凸で、頂点が最小値となり、\(a<0\)のとき上に凸で、頂点が最大値となる。

【問4の解答】
与えられた２次関数は\(y=(x-1)^2-3\)と変形できるから、下に凸であり、定義域内に頂点を含む。
すなわち、\(x=-2,3\)のいずれかが最大値をとり、頂点が最小値をとる。
したがって、\(x=-2\)のとき最大値\(6\)をとり、\(x=1\)のとき最小値\(-3\)をとる。

関数曲線\(y=f(x)\)を、y軸に関して対称移動したグラフの方程式は\(y=f(-x)\)で与えられ、
x軸に関して対称移動したグラフの方程式は\(y=-f(x)\)で与えられ、
原点に関して対称移動したグラフの方程式は\(y=-f(-x)\)で与えられる。

【問5の解答】
求める方程式は、\(y=-(-x)^2-4(-x)-3=-x^2+4x-3\) である。

関数曲線\(y=f(x)\)と直線\(y=ax+b\)との共有点の方程式は\(f(x)=ax+b\)となる。 これをxに関して解けば、 その解\(x_1\)として、その共有点は\((x_1,f(x_1))\)となる。

【問6の解答】
求める共有点の方程式は、\(2x^2=-x+6\) であるから、
2次方程式\(2x^2+x-6=0\)を解いて、\(x=-2,\frac{3}{2}\)を得る。
すなわち、共有点は\((-2,8),(\frac{3}{2},\frac{9}{2})\)である。

関数曲線\(y=f(x)\)と直線\(y=ax+b\)との共有点の方程式は\(f(x)=ax+b\)となる。 これをxに関して解けば、 その解\(x_1\)として、その共有点は\((x_1,f(x_1))\)となる。
ただし、絶対値を含むグラフの場合は、範囲によって解くべき方程式の場合分けが必要である。

【問7の解答】
求める共有点の方程式は、\(0< x <2\)の範囲で\(-x^2+2x=1\) ・・①、それ以外の範囲で\(x^2-2x=1\)・・②である。
①の2次方程式\(x^2-2x+1=0\)を解いて、\(x=1\)（重解）となり、
②の2次方程式\(x^2-2x-1=0\)を解いて、\(x=1\pm \sqrt{2}\)を得る。
すなわち、共有点は\((1,1),(1 - \sqrt{2},1),(1 + \sqrt{2},1)\)である。

下の図のように\(\tan \theta_1=-\sqrt{3}\)および\(\tan \theta_2=1\)となる解より、範囲\(\theta_1< \theta <\theta_2\)が求まる。 　　 ヒント図読込

【問1の解答】
求める値の範囲は、\(-\frac{\pi}{3} < \theta < \frac{\pi}{4}\)である。

曲線\(y=f(x)\)上の点\((a,f(a))\)における接線の方程式は
\(y=f'(a)(x-a)+f(a)\)である。

【問3の解答】
\(f'(x)=2x\)であるから、接点\((a,f(a))\)における接線の方程式は、\(y=2ax-a^2\) である。
これが点Aを通るから、aの方程式\(-2=2a-a^2\)が成り立ち、これを解いて\(a=1\pm \sqrt{3}\)となる。
接線の傾き\(2a\)が負となることから、\(a=1- \sqrt{3}\)が決まる。
したがって、接線の方程式は\(y=2(1- \sqrt{3})x-4+ 2\sqrt{3}\)であり、
接点は\((1- \sqrt{3},4- 2\sqrt{3})\)となる。